2017年高考数学知识方法专题7《解析几何第30练 直线与圆》

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第30练　直线与圆[题型分析·高考展望]　直线与圆是解析几何的基础，在高考中，除对本部分知识单独考查外，更多是在与圆锥曲线结合的综合题中对相关知识进行考查.单独考查时，一般为选择题、填空题，难度不大，属低中档题.直线的方程，圆的方程的求法及位置关系的判断与应用是本部分的重点.体验高考1.(2015·广东)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是(　　)A.2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0B.2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0C.2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D.2x－y＋＝0或2x－y－＝0答案　A解析　设所求直线方程为2x＋y＋c＝0，依题意有＝，解得c＝±5，所以所求直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0，故选A.2.(2015·课标全国Ⅱ)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M、N两点，则|MN|等于(　　)A.2B.8C.4D.10答案　C解析　由已知，得AB＝(3，－1)，BC＝(－3，－9)，则AB·BC＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以AB⊥BC，即AB⊥BC，故过三点A，B，C的圆以AC为直径，得其方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，令x＝0得(y＋2)2＝24，解得y1＝－2－2，y2＝－2＋2，所以|MN|＝|y1－y2|＝4，选C.3.(2015·山东)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　)A.－或－B.－或－C.－或－D.－或－答案　D解析　由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3).设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，则有d＝＝1，解得k＝－或k＝－，故选D.4.(2016·上海)已知平行直线l1：2x＋y－1＝0，l2：2x＋y＋1＝0，则l1，l2的距离为______.答案　解析　d＝＝.5.(2016·课标全国丙)已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2，则|CD|＝________.答案　4解析　设AB的中点为M，由题意知，圆的半径R＝2，|AB|＝2，所以|OM|＝3，解得m＝－，由解得A(－3，)，B(0，2)，则AC的直线方程为y－＝－(x＋3)，BD的直线方程为y－2＝－x，令y＝0，解得C(－2，0)，D(2，0)，所以|CD|＝4.高考必会题型题型一　直线方程的求法与应用例1　(1)若点P(1，1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为(　　)A.2x＋y－3＝0B.x－2y＋1＝0C.x＋2y－3＝0D.2x－y－1＝0答案　D解析　由题意知圆心C(3，0)，kCP＝－.由kCP·kMN＝－1，得kMN＝2，所以弦MN所在直线的方程是2x－y－1＝0.(2)已知△ABC的顶点A(3，－1)，AB边上的中线所在直线方程为6x＋10y－59＝0，∠B的平分线所在直线方程为x－4y＋10＝0，求BC边所在直线的方程.解　设B(4y1－10，y1)，由AB中点在6x＋10y－59＝0上，可得：6·＋10·－59＝0，y1＝5，∴B(10，5).设A点关于x－4y＋10＝0的对称点为A′(x′，y′)，则有⇒A′(1，7)，∵点A′(1，7)，B(10，5)在直线BC上，∴＝，故BC边所在直线的方程是2x＋9y－65＝0.点评　(1)两条直线平行与垂直的判定①若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1；②判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况.(2)求直线方程的常用方法①直接法：直接选用恰当的直线方程的形式，写出结果；②待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有一个待定系数，再由题给的另一条件求出待定系数.变式训练1　已知直线l经过直线3x＋4y－2＝0与直线2x＋y＋2＝0的交点P，且垂直于直线x－2y－1＝0.(1)求直线l的方程；(2)求直线l关于原点O对称的直线方程.解　(1)由解得所以点P的坐标是(－2，2)，又因为直线x－2y－1＝0，即y＝x－的斜率为k′＝，由直线l与x－2y－1＝0垂直可得kl＝－＝－2，故直线l的方程为：y－2＝－2(x＋2)，即2x＋y＋2＝0.(2)直线l的方程2x＋y＋2＝0在x轴、y轴上的截距分别是－1与－2，则直线l关于原点对称的直线在x轴、y轴上的截距分别是1与2，所求直线方程为＋＝1，即2x＋y－2＝0.题型二　圆的方程例2　(1)(2015·湖北)如图，已知圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.①圆C的标准方程为________________.②圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________.答案　①(x－1)2＋(y－)2＝2　②－－1解析　①由题意，设圆心C(1，r)(r为圆C的半径)，则r2＝2＋12＝2，解得r＝.所以圆C的方程为(x－1)2＋(y－)2＝2.②方法一　令x＝0，得y＝±1，所以点B(0，＋1).又点C(1，)，所以直线BC的斜率为kBC＝－1，所以过点B的切线方程为y－(＋1)＝x－0，即y＝x＋(＋1).令y＝0，得切线在x轴上的截距为－－1.方法二　令x＝0，得y＝±1，所以点B(0，＋1).又点C(1，)，设过点B的切线方程为y－(＋1)＝kx，即kx－y＋(＋1)＝0.由题意，得圆心C(1，)到直线kx－y＋(＋1)＝0的距离d＝＝r＝，解得k＝1.故切线方程为x－y＋(＋1)＝0.令y＝0，得切线在x轴上的截距为－－1.(2)已知圆C经过点A(2，－1)，并且圆心在直线l1：y＝－2x上，且该圆与直线l2：y＝－x＋1相切.①求圆C的方程；②求以圆C内一点B为中点的弦所在直线l3的方程.解　①设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则　解得故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.②由①知圆心C的坐标为(1，－2)，则kCB＝＝－.设直线l3的斜率为k3，由k3·kCB＝－1，可得k3＝2.故直线l3的方程为y＋＝2(x－2)，即4x－2y－13＝0.点评　求圆的方程的两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.变式训练2　已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.解　(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y).因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，连接BN.在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.题型三　直线与圆的位置关系、弦长问题例3　(1)(2015·重庆)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于(　　)A.2B.4C.6D.2答案　C解析　根据直线与圆的位置关系求解.由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，∴圆心C(2，1)在直线x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1).∴|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，∴|AB|2＝40－4＝36.∴|AB|＝6.(2)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.①写出圆C的标准方程，并指出圆心坐标和半径大小；②是否存在斜率为1的直线m，使m被圆C截得的弦为AB，且OA⊥OB(O为坐标原点).若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由.解　①圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，则圆心C的坐标为(1，－2)，半径为3.②假设存在这样的直线m，根据题意可设直线m：y＝x＋b.联立直线与圆的方程得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，因为直线与圆相交，所以Δ>0，即b2＋6b－9<0，且满足x1＋x2＝－b－1，x1x2＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＝x1＋b，y2＝x2＋b，由OA⊥OB得OA·OB＝x1x2＋y1y2＝0，所以x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，即b2＋3b－4＝0得b＝－4或b＝1，且均满足b2＋6b－9<0，故所求的直线m存在，方程为y＝x－4或y＝x＋1.点评　研究直线与圆位置关系的方法(1)研究直线与圆的位置关系的最基本的解题方法为代数法，将几何问题代数化，利用函数与方程思想解题.(2)与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d及半弦长，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.变式训练3　已知以点C(t，)(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点.(1)求证：△OAB的面积为定值；(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程.(1)证明　∵圆C过原点O，且|OC|2＝t2＋.∴圆C的方程是(x－t)2＋(y－)2＝t2＋，令x＝0，得y1＝0，y2＝；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝×||×|2t|＝4，即△OAB的面积为定值.(2)解　∵|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|，∴OC垂直平分线段MN.∵kMN＝－2，∴kOC＝.∴＝t，解得t＝2或t＝－2.当t＝2时，圆心C的坐标为(2，1)，|OC|＝，此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点.当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，|OC|＝，此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝>.圆C与直线y＝－2x＋4不相交，∴t＝－2不符合题意，舍去.∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.高考题型精练1.已知x，y满足x＋2y－5＝0，则(x－1)2＋(y－1)2的最小值为(　　)A.B.C.D.答案　A解析　(x－1)2＋(y－1)2表示点P(x，y)到点Q(1，1)的距离的平方.由已知可得点P在直线l：x＋2y－5＝0上，所以|PQ|的最小值为点Q到直线l的距离，即d＝＝，所以(x－1)2＋(y－1)2的最小值为d2＝.故选A.2.“m＝3”是“直线l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直”的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案　A解析　由l1⊥l2得2(m＋1)(m－3)＋2(m－3)＝0，∴m＝3或m＝－2.∴m＝3是l1⊥l2的充分不必要条件.3.若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　)A.3B.2C.3D.4答案　A解析　依题意知AB的中点M的集合是与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0的距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得＝⇒|m＋7|＝|m＋5|⇒m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为＝3.4.(2016·山东)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离答案　B解析　∵圆M：x2＋(y－a)2＝a2，∴圆心坐标为M(0，a)，半径r1＝a，圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝，由几何知识得2＋()2＝a2，解得a＝2.∴M(0，2)，r1＝2.又圆N的圆心坐标N(1，1)，半径r2＝1，∴|MN|＝＝，r1＋r2＝3，r1－r2＝1.∴r1－r2＜|MN|＜r1＋r2，∴两圆相交，故选B.5.与圆x2＋y2＝1和圆x2＋y2－8x＋7＝0都相切的圆的圆心轨迹是()A.椭圆B.椭圆和双曲线的一支C.双曲线和一条直线(去掉几个点)D.双曲线的一支和一条直线(去掉几个点)答案　D解析　设所求圆圆心为M(x，y)，半径为r，圆x2＋y2－8x＋7＝0⇒(x－4)2＋y2＝9，圆心设为C(4，0)，由题意得当动圆与两定圆外切时，即|MO|＝r＋1，|MC|＝r＋3，从而|MC|－|MO|＝2<|OC|，因此为双曲线的一支，当动圆与两定圆一个外切一个内切时，必切于两定圆切点，即M必在x轴上，但需去掉O，C及两定圆切点，因此选D.6.(2015·课标全国Ⅱ)已知三点A(1，0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　)A.B.C.D.答案　B解析　由点B(0，)，C(2，)，得线段BC的垂直平分线方程为x＝1，①由点A(1，0)，B(0，)，得线段AB的垂直平分线方程为y－＝，②联立①②，解得△ABC外接圆的圆心坐标为，其到原点的距离为＝.故选B.7.(2016·山东)在[－1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________.答案　解析　由已知得，圆心(5，0)到直线y＝kx的距离小于半径，∴<3，解得－

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